Докладчик

Цели

Изучить модель распространения рекламы и построить её.

Теоретическое введение

Организуется рекламная кампания нового товара или услуги. Необходимо, чтобы прибыль будущих продаж с избытком покрывала издержки на рекламу. Вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, возрастает и прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытиться, и рекламировать товар станет бесполезным.

Теоретическое введение

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь n покупателей. Для ускорения сбыта продукции запускается реклама по радио, телевидению и других средств массовой информации. После запуска рекламной кампании информация о продукции начнет распространяться среди потенциальных покупателей путем общения друг с другом. Таким образом, после запуска рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции людей пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей о нем не знающих

Теоретическое введение

Модель рекламной кампании описывается следующими величинами. Считаем, что $\frac{dn}{dt}$ - скорость изменения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых его купить, t - время, прошедшее с начала рекламной кампании, N - общее число потенциальных платежеспособных покупателей, n(t) - число уже информированных клиентов.

Теоретическое введение

Эта величина пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, это описывается следующим образом: α₁(t)(N−n(t)), где α₁ > 0 - характеризует интенсивность рекламной кампании (зависит от затрат на рекламу в данный момент времени). Помимо этого, узнавшие о товаре потребители также распространяют полученную информацию среди потенциальных покупателей, не знающих о нем (в этом случае работает т.н. сарафанное радио).

Теоретическое введение

Этот вклад в рекламу описывается величиной α₂(t)n(t)(N−n(t)). эта величина увеличивается с увеличением потребителей узнавших о товаре.

Математическая модель распространения рекламы описывается уравнением:

$$\frac{dn}{dt} = (\alpha _1(t) + \alpha _2(t)n(t))(N-n(t))$$

Теоретическое введение

При α₁(t) >  > α₂(t) получается модель типа модели Мальтуса, решение которой имеет вид

Теоретическое введение

В обратном случае α₁(t) <  < α₂(t) получаем уравнение логистической кривой

Задание

Вариант 32:

Постройте график распространения рекламы, математическая модель которой описывается следующим уравнением:

1. $\frac{dn}{dt} = (0.54 + 0.000016n(t))(N-n(t))$
2. $\frac{dn}{dt} = (0.000021 + 0.38n(t))(N-n(t))$
3. $\frac{dn}{dt} = (0.2\cos{t} + 0.2\cos{(2t)} n(t))(N-n(t))$

При этом объем аудитории N = 609, в начальный момент о товаре знает 4 человек.

Для случая 2 определите в какой момент времени скорость распространения рекламы будет иметь максимальное значение.